ปรากฏการณ์ที่ส่งผลต่อเส้นสเปรกตัมของอะตอมในสนามแม่เหล็กโดยที่อันตรกิริยาของ spin-orbit มีอิทธิพลมากกว่าผลเนื่องจากสนามแม่เหล็กภายนอก โดยที่ผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมคือ J → = L → + S → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}={\vec {L}}+{\vec {S}}}

ค่าเฉลี่ยของสปินเวกเตอร์คือ สปินเวกเตอร์ที่โพรเจกชั่นบนทิศทางของ J → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {J}}}

S → a v g = ( S → ⋅ J → ) J 2 J → {\displaystyle {\vec {S}}_{avg}={\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {J}})}{J^{2}}}{\vec {J}}}

และค่าเฉลี่ยของโมเมนตัมเชิงมุมจะเป็น

L → a v g = ( L → ⋅ J → ) J 2 J → . {\displaystyle {\vec {L}}_{avg}={\frac {({\vec {L}}\cdot {\vec {J}})}{J^{2}}}{\vec {J}}.}

ดังนั้นถ้าให้ VM เป็นพลังงานศักย์เนื่องจากการรบกวนของสนามแม่เหล็กจะได้ว่า

⟨ V M ⟩ = μ B ℏ J → ( g L L → ⋅ J → J 2 + g S S → ⋅ J → J 2 ) ⋅ B → . {\displaystyle \langle V_{M}\rangle ={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}{\vec {J}}\left(g_{L}{\frac {{\vec {L}}\cdot {\vec {J}}}{J^{2}}}+g_{S}{\frac {{\vec {S}}\cdot {\vec {J}}}{J^{2}}}\right)\cdot {\vec {B}}.}

แทนค่า L → = J → − S → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {L}}={\vec {J}}-{\vec {S}}} แล้วยกกำลังสองทั้ง ข้างเราจะได้

S → ⋅ J → = 1 2 ( J 2 + S 2 − L 2 ) = ℏ 2 2 [ j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) + s ( s + 1 ) ] , {\displaystyle {\vec {S}}\cdot {\vec {J}}={\frac {1}{2}}(J^{2}+S^{2}-L^{2})={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)],}

แทนค่า S → = J → − L → {\displaystyle \scriptstyle {\vec {S}}={\vec {J}}-{\vec {L}}} แล้วยกกำลังสองทั้ง ข้างเราจะได้

L → ⋅ J → = 1 2 ( J 2 − S 2 + L 2 ) = ℏ 2 2 [ j ( j + 1 ) + l ( l + 1 ) − s ( s + 1 ) ] . {\displaystyle {\vec {L}}\cdot {\vec {J}}={\frac {1}{2}}(J^{2}-S^{2}+L^{2})={\frac {\hbar ^{2}}{2}}[j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)].}

แทนค่า J z = ℏ m j {\displaystyle \scriptstyle J_{z}=\hbar m_{j}} ในสมการและให้ เพื่อหาค่าพลังงานศักย์ของอะตอมที่ถูกรบกวนโดยสนามแม่เหล็กภายนอก

V M = μ B B m j [ g L j ( j + 1 ) + l ( l + 1 ) − s ( s + 1 ) 2 j ( j + 1 ) + g S j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) + s ( s + 1 ) 2 j ( j + 1 ) ] = μ B B m j [ 1 + ( g S − 1 ) j ( j + 1 ) − l ( l + 1 ) + s ( s + 1 ) 2 j ( j + 1 ) ] , = μ B B m j g j {\displaystyle {\begin{aligned}V_{M}&=\mu _{B}Bm_{j}\left[g_{L}{\frac {j(j+1)+l(l+1)-s(s+1)}{2j(j+1)}}+g_{S}{\frac {j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)}}\right]\\&=\mu _{B}Bm_{j}\left[1+(g_{S}-1){\frac {j(j+1)-l(l+1)+s(s+1)}{2j(j+1)}}\right],\\&=\mu _{B}Bm_{j}g_{j}\end{aligned}}}

เมื่อปริมาณในวงเล็บใหญ่คือ Landé g-factor gJ ของอะตอม (gL= 1, gS = 2) และ คือ ผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมใน z-component สำหรับอิเล็กตรอนเดี่ยวบน filled shell, และ จะทำให้ Landé g-factor สามารถอนุมานได้เป็น

g j = 1 ± g S − 1 2 l + 1 {\displaystyle g_{j}=1\pm {\frac {g_{S}-1}{2l+1}}}

สามารถเขียน VM ในรูปของ ค่าแก้ไขของ Zeeman ได้เป็น

E Z ( 1 ) = ⟨ n l j m j | H Z ′ | n l j m j ⟩ = ⟨ V M ⟩ Ψ = μ B g J B e x t m j {\displaystyle {\begin{aligned}E_{Z}^{(1)}=\langle nljm_{j}|H_{Z}^{'}|nljm_{j}\rangle =\langle V_{M}\rangle _{\Psi }=\mu _{B}g_{J}B_{ext}m_{j}\end{aligned}}}